给定亏格的所有紧致黎曼面的集合，可以附加某种结构形成模空间。黎曼面模空间的几何性质在数学与物理的许多领域都有重要应用。我们将探讨黎曼面模空间的一种几何计数不变量——霍奇积分。
撰文：徐浩（美国匹兹堡大学数学系）
责编：谭曳
数学家引入模空间是为了研究数学中某些特定对象的分类问题。举个通俗的例子，甜甜圈可以看成一种曲面，数学家对其上的一种几何结构——复结构感兴趣（复结构好比甜甜圈上各种口味的果酱）。人们发现所有不同的复结构可以放在一起组成一个空间（想象货架上摆放的各色果酱，要求没有两瓶果酱是相同的），满足邻近的复结构连续变化（桔味果酱边上必须摆的是香橙、橘子或者柚子果酱）。这种甜甜圈的模空间，自带一些奇妙的几何与算术结构。数学家研究模空间上的一种特殊函数，叫做模形式（定制的多味果酱甜甜圈），这在英国数学家怀尔斯证明费马大定理的工作中起了关键的作用。了解模空间的局部结构需要研究曲面的形变，即曲面族的概念（如同甜甜圈礼盒套装）。
上面的例子称为椭圆曲线模空间，可以表示为下图中向上延展到无穷的灰色区域，数学家称之为基本域。
椭圆曲线模空间对应亏格为1的黎曼面模空间（没有镜片的眼镜架可以看做是亏格为2的黎曼面，以此类推）。类似地，也存在任意亏格的黎曼面模空间。比如亏格为2的黎曼面模空间，可以看做球面上选取6个不同点的所有可能的方式构成的集合。对于亏格更高的黎曼面模空间，描述起来就更加困难了。
黎曼面模空间的严格构造，是20世纪后半叶数学发展的辉煌成就。但是早在1857年，黎曼就计算出了亏格为g的黎曼面模空间的维数等于6g-6，预言了它们在数学中的重要性。即使只对单个黎曼面的性质感兴趣，模空间也是有用的工具。这一点比较好理解，就像我们可以通过观察“朋友圈”，更全面地了解一个人。
受黎曼影响，19世纪末到20世纪初期的意大利和德国代数几何学家们，在工作中广泛应用黎曼面模空间，虽然许多证明并不严格，而且在连模空间的定义都很模糊的情况下，他们依然得到了一些漂亮的结果。没有桥只能先摸着石头过河的例子在数学上有很多。比如有限单群分类中最大的散在单群——魔群的构造直到1982年才给出，但是人们很早就预测它的存在，还计算出它有194个不可约表示，启发了McKay在1978年发现月光魔群猜想。
霍奇积分与威滕猜想
黎曼面模空间至今仍有许多待解难题。前面提到形变理论可以研究模空间的局部结构，而窥探黎曼面模空间整体几何性质的一种办法是通过计算其上的各种霍奇积分。自从牛顿和莱布尼茨在17世纪引入积分的概念以来，积分早已不仅仅局限于欧氏空间。流形、测度空间、模空间上的积分已经是数学和物理学的常规工具。甚至积分值也可以不再是数，比如Motivic积分得到的是代数簇。
由于黎曼面模空间的复杂构造，传统代数几何方法面对霍奇积分束手无策。许多年来数学家只能算一些特殊的简单霍奇积分。直到1990年物理学家威滕（Edward Witten）提出了一个惊人的猜想，可以很轻松计算黎曼面模空间上的一大类霍奇积分。
威滕的想法来自于弦论，研究二维重力理论有两种看似不同却等价的途径——拓扑重力理论和矩阵模型，前者可以用霍奇积分的生成级数表示，后者可以表示成KdV方程的解。如果威滕猜想成立，计算霍奇积分就只需要解KdV方程就可以了。
以椭圆曲线模空间的霍奇积分为例，我们可以再用甜甜圈和果酱做个类比。一家新开张的甜甜圈店老板想要购买一批果酱，自然要比较各种品牌的价格。不同品牌的果酱总价好比椭圆曲线模空间上不同的霍奇积分。因为是新店开张，老板只能亲自跑去一家家超市查询价格，不但繁琐而且容易出错。这时候一位果酱经销商登门拜访，告诉老板，他这里有所有果酱品牌的价目表，不但送货上门，量大还可以打折……
弦论认为自然界万物的基本单元是一条振动的弦，它在时空中的运动轨迹形成黎曼面。KdV方程是19世纪数学家研究水波提出的方程，它的解人们已经研究得很透彻了。威滕猜想破天荒把霍奇积分与KdV方程这两个之前毫不相关的领域联系在一起，数学家的欣喜一点不亚于甜甜圈店老板。正可谓“弦舞重力动乾坤，参模空间起涟漪。”
1991年，年仅27岁的康切维奇（Maxim Kontsevich）在波恩大学访问期间证明了威滕猜想。这是康切维奇获得1998年菲尔兹奖的主要成果之一。威滕和康切维奇都是同时通晓物理和数学的奇才。威滕本科学的是历史，研究生念过经济学、应用数学，然后才读的物理博士。康切维奇1992年获得波恩大学博士学位，这也是他生平的第一个学位。
莫扎哈尼与韦伊-皮特森体积
黎曼面模空间的韦伊-皮特森体积也是一种霍奇积分，与韦伊-皮特森度量和双曲几何有密切联系。
莫扎哈尼（Maryam Mirzakhani）是第一位获得菲尔兹奖的女数学家。她在博士论文中给出了韦伊-皮特森体积新的递归公式，并应用其证明了黎曼面上给定长度的简单测地线数目的多项式渐近，并给出了威滕猜想的新证明。她把McShane等式从环面推广到任意亏格曲面，发展模空间上新的积分方法，用辛约化建立与相交数的联系等，都是很原创的工作。莫扎哈尼博士毕业不到3年就收到了哈佛、普林斯顿、斯坦福、芝加哥大学的正教授职位邀请。
2006年，加州大学戴维斯分校Mulase教授和他的学生Safnuk发现，莫扎哈尼递归公式可以写成一种等价的微分形式。记得刘老师让我读莫扎哈尼和Mulase-Safnuk的文章，我们发现可以把莫扎哈尼递归公式推广到高次韦伊-皮特森体积。后来我们的工作还被莫扎哈尼用于研究韦伊-皮特森体积的大亏格渐近展开。
Marino-Vafa猜想
2001年两位物理学家Marino和Vafa通过研究陈-西蒙斯理论和卡拉比-丘空间的大N对偶关系，猜测黎曼面模空间上一类霍奇积分的生成级数可以表达为关于对称群表示的组合闭公式。
物理学家认为，目前已知的五种弦理论之间存在对偶关系（即某种变换下的等价关系）。陈-西蒙斯理论和卡拉比-丘空间的大N对偶关系是其中一例。陈-西蒙斯理论源自陈省身与西蒙斯关于示性类的工作，是威滕开创的一种拓扑量子场论，在扭结和三维流形理论中有重要应用。西蒙斯在极小子流形、和乐群分类、示性类等领域都有重要贡献。80年代初期他离开数学创办对冲基金，成为亿万富翁。
刘克峰与刘秋菊、周坚合作，在2003年完成了Marino-Vafa猜想的证明。Marino-Vafa公式与威滕-康切维奇公式相比，前者的霍奇积分更加广泛，而且从Marino-Vafa公式出发，可以统一推导出包括威滕-康切维奇公式在内的许多霍奇积分恒等式。后来，刘克峰与李骏、刘秋菊、周坚合作推广他们的方法建立数学拓扑顶点理论。刘老师的学生彭磐用这一新的理论证明了著名的Gopakumar-Vafa猜想。
黎曼面模空间的几何度量
黎曼面模空间的度量，不仅可以告诉我们两个黎曼面之间的距离，而且可以蕴涵许多几何拓扑性质。丘成桐1977年证明卡拉比猜想，使得凯勒-爱因斯坦度量成为复几何研究的重要工具，一大批难题得以解决。开创了几何分析的黄金时代。卡拉比-丘空间也成为超弦理论的基石。
推广证明卡拉比猜想的方法，丘成桐在80年代初期与郑绍远、莫毅明合作证明了黎曼面模空间上凯勒-爱因斯坦度量的存在性。丘成桐还猜测黎曼面模空间上的凯勒-爱因斯坦度量与经典的Teichmuller度量，Bergman度量都是等价的。
刘克峰与孙晓峰、丘成桐合作，通过引进全新的Liu-Sun-Yau度量，分析曲率渐近性质，最终证明了丘成桐猜想，并解决了这个领域里许多与度量等价性相关的古老问题。作为推论，还得出模空间对数余切丛稳定性的代数几何结果。这个结果代数几何学家至今仍无从下手。
用复解析方法研究代数几何的数学分支被称为超越代数几何。解析方法往往比代数方法更为直观，长期以来大多数深刻的代数几何结果都是最先由解析方法证明的。小平邦彦是超越代数几何的先驱，他在1953年用解析方法证明以他名字命名的消灭定理，第一个代数证明直到1987年才由Deligne-Illusie给出。丘成桐1977年发表的文章《卡拉比猜想与代数几何若干新结果》是超越代数几何的里程碑，其中用凯勒-爱因斯坦度量解决了Severi猜想和Bogomolov-Miyaoka-Yau陈数不等式等众多长期悬而未决的代数几何难题。
法伯猜想
瑞典皇家科学院院士法伯在上世纪90年代提出关于黎曼面模空间万有环的系列猜想。其中与万有环的乘积结构有关的法伯相交数猜想，是一个霍奇积分恒等式，蕴涵霍奇积分的一些奇妙的组合结构。
2006年，斯坦福大学瓦开教授与两位加拿大皇家科学院院士Goulden和Jackson应用格罗莫夫-威滕理论证明了法伯相交数猜想在标示点不超过4的情形。刘老师建议我结合计算机研究法伯猜想。2008年，我们通过威滕-康切维奇定理推导n点函数递归公式，并用其给出了法伯相交数猜想的完整证明。
法伯猜想中至今还未解决的是法伯Gorenstein猜想，即万有环满足庞加莱对偶。法伯验证了亏格不超过23的情形。在高亏格时有两方面的挑战，一方面要找到足够多的万有关系，另一方面要计算期望的Gorenstein维数。2009年，刘老师和我给出计算Gorenstein维数的新方法。应用我们的工作，法伯发现在亏格为24时，法伯-扎吉尔关系式在余维数12时恰好比Gorenstein维数少1；訚琪峥博士在带标示点的黎曼面模空间也发现了类似的高亏格缺失关系。自此人们开始认为法伯Gorenstein猜想很可能不成立。
总结
本文讲述的内容只是作者有所涉足的黎曼面模空间之冰山一角。黎曼面模空间的研究几乎涉及所有数学分支。如刘克峰老师常对学生说的那样：“模空间的数学都是好的数学。模空间的任何结果都可以流传下来。”黎曼与霍奇是不同时代的大数学家，但他们也有交集，比如霍奇理论中非常重要的霍奇-黎曼双线性关系。霍奇理论是20世纪超越代数几何的重要工具，黎曼面的霍奇理论可以追溯到19世纪黎曼的工作。
致谢
感谢丘成桐教授、刘克峰教授和王善平教授对本文的宝贵建议。
后记
本文可看作刘克峰教授的文章《知识技巧与想象力》的读后感。笔者2009年在浙江大学数学中心师从刘教授获得博士学位，现任教于美国匹兹堡大学。作者无比敬佩刘老师的为人、处事和治学。衷心感激刘老师的谆谆教诲和培养之恩。2017新年再读《知识技巧与想象力》，读到“想象力比知识更重要”，“做数学永远要顺流而下，要追求轻舟已过万重山般的流畅”两句时感触尤深。撰文之余，作诗一首，与刘门学子共勉。
刘师教诲有感
学生：徐浩、楼筱静
玉泉曾经留月影
刘门几度拓华弦
梅山鹤亭终有径
谦思恪学自成蹊
感谢新加坡国立大学韩飞教授对第三、四句诗的启发。感谢浙大数学中心全体师生员工，所有师兄师弟师妹们的友谊。
参考文献
[1] 刘克峰，《知识技巧与想象力》
http://www.cms.zju.edu.cn/news.asp?id=694
[2] 刘克峰，《物理激发的数学》
http://theory.gmw.cn/2011-01/17/content_1549100.htm
[3] 徐浩，楼筱静，《刘师教诲有感（附注）》
http://blog.sciencenet.cn/blog-3298437-1027442.html